Google+ 機動學論壇(TALKING MECHANISMS): 指南車設計

2007年6月15日 星期五

指南車設計

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這裡的"我們"提指范詠晴你自己還是抄來的作者?


根據「宋史輿服志」上的記載,我們可以確知指南車係採用
針齒輪 (pin gear) 傳動,至於它的設計, George Lanchester
曾這麼解釋,指南車有兩個相同的車輪,若直線行駛,則兩個車
輪走過相等的路程,若沿著一個固定圓心轉彎時,內外車輪行駛
兩個同心圓弧,而外輪經過的圓弧較長,且知指南車轉彎的角度
將和內外輪所走的距離差成正比。若指南車轉彎時並不沿一定圓
弧行走,那麼我們可以將每一小段行駛距離視為繞某一個圓心,
因此,轉彎的角度仍與內外輪所走的距離差成正比。所以由此我
們可以根據兩輪行駛的距離差,使車上的指標往回轉相同角度,
即可達到"維持一定方向"的目的。
     指南車的設計包含許多齒輪(見圖一),其目的是當指南車 轉彎時,根據二輪行駛的距離差,使車上方向的仙人手臂往回轉 相同角度,使得仙人手臂指示的方向六遠固定。 

     在這些齒輪中,最重要的是四個齒輪(見圖二),即在上下 有二個平行的齒輪,在此二個平行齒輪中,放置與此二平行齒輪 垂直的一對齒輪。 

     當指南車行駛時,上面的齒輪隨一輪順時針旋轉,而下面的 齒輪隨另一輪反時針旋轉。如果上下二齒輪轉速相等時、中間的 一對齒輪就會在原地旋轉,反之,這一對齒輪會沿與車輪轉向相 反的方向旋轉,且其轉角相等,同時帶動指示方向的仙人轉動。 
     總之,指南車轉彎時,其轉角與二輪行走的距離差成正比, 此距離差使上下二平行齒輪轉速不等,而帶動指示方向的仙人手 臂回轉相同角度,因此,指南車永遠指向固定方向。 
     近代汽車上的差速器所用之原理與指南車相同而過程相反( 見圖三),但在十一世紀時,中國人已有此精巧之構思,實令吾 人引以為榮。 
     基於以上的概念,構想了兩組不同的設計,一類是利用行星 式齒輪,另一類則是利用導螺桿,設計的原理和構想,分別詳述 於後: 

行星齒輪式

     於此方法,我們構想了兩種設計,在介紹此兩種設計之前, 先就其基本構造--- 行星式齒輪系,做一簡單的討論(見圖一) 。令sun gear, planet gear, ring gear和planet arm分別標註 為 1, 2, 3 和 4 。 

     相對的,不同構件的半徑及角速度分別為 R1, R2, R3, R4, 和 W1, W2, W3, W4 可知  sun gear上 A點的速度 Va=R1*W1  planet arm上 B點的速度 Vb=R4*W4=(R1+R2)*W4  planet gear上 A點的速度 Va=Vb+Vab.......(1)  planet gear上 C點的速度 Vc=Vb+Vcb.......(2)  因為 A 點和 C點為反向運動,所以可知 Vcb=(-Vab)..(3)                                  且 Vab=Va-Vb...(4)                                     Vcb=Vc-Vb...(5)  綜合(1)(2)(3)(4)(5)式代入(3)式,我們可得               R1*W1+R3*W3=2*(R1+R2)*W4...........(6)  以下討論幾個特例:(N代表齒數)     (1)sun gear固定(W1=0)       SR=W3/W4=2*(N1+N2)/N3=2*(R1+R2)/R3..........(7)     (2)planet arm固定(W4=0)        SR=W3/W1=-N1/N3=-R1/R3***......................(8)    (3)Ring gear固定(W3=0)        SR=W4/W1=N1/(2*(N1+N2))=R1/(2*(R1+R2)).....(9) 以上即是行星齒輪系的分析,也就是下列兩種設計的基本機構。 
 A.設計一(見圖 2)  gear 1接至右輪  gear 8接至左輪 gear 3, gear 4具放大作用,使sun gear 5的轉速為ring gear8 的倍數。 planet gear6, 7: 傳動至gear 9 gear 9傳動至gear 10,再經兩相同大小齒輪gear12,13反向,作 為指南車運動方向改變的補償,達到指南的目的。 

     以下我們分析此設計的運動情形及設定要求。  CASE1  Wleft=Wright則希望gear10不動,及planet gear固定==>W9=0 W8=Wleft, W5=Wright*R3/R4 W8/W5=R4/R3, 選擇W8/W5=R5/R8=R4/R3...........(10)  CASE2 左轉(見圖 3)  假設指南車轉向Wseeda, 且Wleft=0,即ring gear固定(W8=0), W1=Wfi=2*L*Wseeda/D W5=(R3/R4)*Wfi放大 W9/W5=W5/(2*(R5+R6))=R5/2R9==>W9=R5*W5/2R9 指南車必須補償W10=Wseeda R9*W9=R10/W10 ==>R10=R5*W5/2R9=R5*W5*L/(Wfi*D)=R3*R5*L/(R4*D)...(11) 

 CASE3 右轉  假設指南車轉向Wseeda, 且視Wright=0, 即sun gear固定W5=0 ==> W8/W9=2(R5+R6)/R8=2*R9/R8     W9=W8*R8/(2*R9) 指南車必須獲的補償 W10=Wseeda                    W8=Wfi R9*W9=R9*W8*R8/2R9=R10*Wseeda 且D*W8/2=L*Wseeda R10=R8*W8/2Wseeda=R8(2L*Wseeda/D)/2Wseeda    =R8*L/D=R3*R5*L/R4*D...(12)  由以上三種狀況,可由(10), (11), (12)式得到此指南車的設計 尺寸關係      R5/R8=R4/R3及R10=R3*R5*L/R4*D 亦即N5/N8=N4/N3及N10=N3*N5*L/N4*D   B.設計二  令Sun Gear, Planet Gear及Planet Arm分別為1、2、3、4,右 輪帶動的齒輪為5,左輪帶動之齒輪為6,齒速與角速度分別為 N1~N6,W1~W6,代表車輪半徑,L代表兩輪間距。我們分三種情 況討論之。 

 CASE 1 當正向行駛時  令 W4=0,則 W3/W1 = -N1/N3 而 W3/W6 = -N6/N3,W1/W5 = N5/N1     W3×W5          R6×R1          N6×N1 ------------ = - ---------- = - ------------    W6×W1          R3×R5          N3×N5  W5 = W6,令 N5 = N1,  所以      W3         N6                         ------- = - -------  ,令 N6 = N1    W1         N3                           CASE 2 當車子右轉時,  視 W6 不等於 0,W5 = W1 = 0 則      W3        2(N1+N2)   ------- = --------------      W4          N3       W3         N6                      N6   ------- = - -------   ==>  W3 = - ------- * W6      N6         N3                      N3  所以                   N3                N6      W4 = ------------------×(- -----)× W6               2(N1+N2)           N3                    - N6 則   W4 = ------------------ × W6               2(N1+N2)  亦即                   - N6      θ4 = ----------------- × θ6               2(N1+N2)  CASE 3 當車子左轉時  視 W5 ≠ 0 ,W6 = W3 =0        W4            N1 則 ------- = ------------------       W1         2(N1+N2)        W1       N5                N5    ------- = -------  ==> W1 = ----- × W5       W5       N1                N1                   N4              N5 ∴  W4 = ------------------ × ----- × W5              2(N1+N2)         N4                     - N5    ==> θ4 = ----------------- × θ5                  2(N1+N2)  綜合以上三種情況,考慮車身轉角 φ 與 φ4 的關係:  右轉時:  Lφ= Rθ6  令 φ = θ4 則                   N6                         N6 × L    R =∣- ----------------- ∣ × L = -------------------              2(N1+N2)                  2(N1+N2)  左轉時:  Lφ= Rθ5  令 φ = θ4 則              N5×L     R = -------------------            2(N1+N2)  所以必須N5 = N6 始可總和各設計要求尺寸的關係,得          N1 = N5 = N6 及              N6 × L     R = -------------------            2(N1+N2)  參考尺寸:  選擇 N1 = N2 = N5 = N6 =20      N3 = 60  則得 4R=L 

導螺桿式

 件一:導螺桿。       右端與右輪固定死,隨右輪運動。       左端與左輪以軸承相接,不隨左輪轉動。 件二:螺帽。       右側圓盤上兩側有二小孔;左輪上連接       兩長桿向右延伸,穿過件二之二小孔帶       動螺帽。 設 D:車輪直徑。    P:螺桿之Pitch。    L:兩車輪的間距。  θr:右輪轉角。  θ1:左輪轉角。 

       分下列三種情況考慮:  CASE 1    θr = θ1。      兩輪子等速運動,則件二滯留原處。  CASE 2   θr >θ1。      則車子左轉,件二向右,設S為其移動距離,車身轉 角為φ             (θr - θ1) ==> S = ------------------ × P  向右                 2π            D Lφ =  -----(θr - θ1)          2          D  φ = -----(θr - θ1) 左轉         2L  CASE 3   θr < θ1 。      則車子向右轉。              (θ1 - θr) ==> S = ------------------- × P  向左                  2π                 D        φ = ------- (θr - θ1)  右轉                2L          由 CASE2 及 CASE3,我們可知件二移動距離 S 與 車身時際轉角φ 為一線性關係,               PL        S = ------- φ = Cφ ....................(13)               πD               PL        C = ------ ,為一常數              πD          所以我們可得一結論:藉移動 S 為輸入,將此線性運動 轉換成圓周運動,且f(s)= - φ,則車身轉φ角後,函數f 輸出為 -φ角,因此可穫得一系統永遠指向一方向,此即為指 南車的功能。      但是如何將直線運動轉變到圓周運動?我們想到齒輪和齒 條的相對運動。設計一齒條,其移動位移完全由件二控制,齒 條置於中心軸前方。齒面背向件二,則件二移動 S,齒條亦隨 之移動 S,若有一齒輪與此齒條以一惰輪相對運動,則可由圖 五觀查到:當車身向右轉φ角,就達到函數 f 的要求。      設齒輪的直徑為 d,轉角為ψ(不計正負號的計算), 則           d     S = ------- ψ .................................(14)           2                      PL          d  (13)=(14)==> ------ φ = ----- ψ                     πD          2    設計要求,φ = ψ             2PL  ==> d = --------             πD                                2PL 由(15)可知:一齒輪  d = -------- 即能合乎我們設計的要求                             πD   ,但事實上,我們不可能設計此齒輪,因為螺桿的 Pitch一般均 很小,而軸距議不可能太大,所以我們需一齒輪組來放大。      假設放大K倍,則與齒條接觸的齒輪只須旋轉ψ/K(=φ/K) ,即可達到我們的要求,則(15)式變為            2PLK     d = ----------- ..............................(16)            πD    如此設計,我們就可以相當自如的控制 d 之大小了。 

三、 規格制定

     針對先前三種機構,運用機械設計所學的齒輪知識,制定出合 適的規格數據,並考慮可能發生的問題,如齒數的整數性質、齒輪 嚙合的間隙等等,進而提高指針準確度。 

  A. 設計一  把推導出的齒輪半徑比公式稍作整理可得:   R9=R5+R6=R5+(R8-R5)/2 =R8/2+R5/2=R3*R5/(R4*2)+R5/2 =R5*(R3/R4+1)/2   R6=R7=(R8-R5)/2=(R3*R5/R4-R5)/2 =R5*(R3/R4-1)/2   R8=R3*R5/R4   R10=R3*R5*L/(R4*D)  如果假設R3=4 in, R4=2 in, R5=5 in 車輪直徑採用自行車輪的直徑D=26.5 in 取(L/D)之比為1.5,即兩輪間距L=39.75 in 經計算    R8=10 in, R10=15 in, R6=R7=2.5 in, R9=7.5 in  因為要提高齒輪的嚙合程度,我們將Pd假設為12,如此可以求得 各齒輪的齒數:    N3=96, N4=48, N5=120   N6=N7=60, N8=240, N9=180, N10=360  如上之齒輪組,R10高達15吋,不方便製作,而且亦不合乎經濟原則 ,因此試擬用電腦輔助設計,列出可能的組合,以免用人工嘗試, 浪費時間。  撰寫一個MATLAB程式,內容如下:  pd=12; ratio=1; for r4=1:7  for r3=r4:7   for r5=1:7    n9=r5*(r3/r4+1)*pd;    n6=r5*(r3/r4-1)*pd;    n7=n6;    n8=2*r3*r5/r4*pd;    n10=2*r3*r5*ratio/r4*pd;    fprintf('%d %.1f r3=%d r4=%d r5=%d | ',pd,ratio,r3,r4,r5);    fprintf('n9=%.2f n6=n7=%.2f n8=%.2f n10=%.2f\n',n9,n6,n8,n10);   end;  end; end;  部分執行結果:  12 1.0 r3=2 r4=2 r5=1 | n9=24.00 n6=n7=0.00 n8=24.00 n10=24.00 12 1.0 r3=2 r4=2 r5=2 | n9=48.00 n6=n7=0.00 n8=48.00 n10=48.00 12 1.0 r3=2 r4=2 r5=3 | n9=72.00 n6=n7=0.00 n8=72.00 n10=72.00 12 1.0 r3=2 r4=2 r5=4 | n9=96.00 n6=n7=0.00 n8=96.00 n10=96.00 12 1.0 r3=2 r4=2 r5=5 | n9=120.00 n6=n7=0.00 n8=120.00 n10=120.00 12 1.0 r3=2 r4=2 r5=6 | n9=144.00 n6=n7=0.00 n8=144.00 n10=144.00 12 1.0 r3=2 r4=2 r5=7 | n9=168.00 n6=n7=0.00 n8=168.00 n10=168.00 12 1.0 r3=3 r4=2 r5=1 | n9=30.00 n6=n7=6.00 n8=36.00 n10=36.00 12 1.0 r3=3 r4=2 r5=2 | n9=60.00 n6=n7=12.00 n8=72.00 n10=72.00 12 1.0 r3=3 r4=2 r5=3 | n9=90.00 n6=n7=18.00 n8=108.00 n10=108.00 12 1.0 r3=3 r4=2 r5=4 | n9=120.00 n6=n7=24.00 n8=144.00 n10=144.00 12 1.0 r3=3 r4=2 r5=5 | n9=150.00 n6=n7=30.00 n8=180.00 n10=180.00 12 1.0 r3=3 r4=2 r5=6 | n9=180.00 n6=n7=36.00 n8=216.00 n10=216.00 12 1.0 r3=3 r4=2 r5=7 | n9=210.00 n6=n7=42.00 n8=252.00 n10=252.00 12 1.0 r3=4 r4=2 r5=1 | n9=36.00 n6=n7=12.00 n8=48.00 n10=48.00 12 1.0 r3=4 r4=2 r5=2 | n9=72.00 n6=n7=24.00 n8=96.00 n10=96.00 12 1.0 r3=4 r4=2 r5=3 | n9=108.00 n6=n7=36.00 n8=144.00 n10=144.00 12 1.0 r3=4 r4=2 r5=4 | n9=144.00 n6=n7=48.00 n8=192.00 n10=192.00 12 1.0 r3=4 r4=2 r5=5 | n9=180.00 n6=n7=60.00 n8=240.00 n10=240.00 12 1.0 r3=4 r4=2 r5=6 | n9=216.00 n6=n7=72.00 n8=288.00 n10=288.00 12 1.0 r3=4 r4=2 r5=7 | n9=252.00 n6=n7=84.00 n8=336.00 n10=336.00 12 1.0 r3=5 r4=2 r5=1 | n9=42.00 n6=n7=18.00 n8=60.00 n10=60.00 12 1.0 r3=5 r4=2 r5=2 | n9=84.00 n6=n7=36.00 n8=120.00 n10=120.00 12 1.0 r3=5 r4=2 r5=3 | n9=126.00 n6=n7=54.00 n8=180.00 n10=180.00 12 1.0 r3=5 r4=2 r5=4 | n9=168.00 n6=n7=72.00 n8=240.00 n10=240.00 12 1.0 r3=5 r4=2 r5=5 | n9=210.00 n6=n7=90.00 n8=300.00 n10=300.00 12 1.0 r3=5 r4=2 r5=6 | n9=252.00 n6=n7=108.00 n8=360.00 n10=360.00 12 1.0 r3=5 r4=2 r5=7 | n9=294.00 n6=n7=126.00 n8=420.00 n10=420.00 12 1.0 r3=6 r4=2 r5=1 | n9=48.00 n6=n7=24.00 n8=72.00 n10=72.00 12 1.0 r3=6 r4=2 r5=2 | n9=96.00 n6=n7=48.00 n8=144.00 n10=144.00 12 1.0 r3=6 r4=2 r5=3 | n9=144.00 n6=n7=72.00 n8=216.00 n10=216.00 12 1.0 r3=6 r4=2 r5=4 | n9=192.00 n6=n7=96.00 n8=288.00 n10=288.00 12 1.0 r3=6 r4=2 r5=5 | n9=240.00 n6=n7=120.00 n8=360.00 n10=360.00 12 1.0 r3=6 r4=2 r5=6 | n9=288.00 n6=n7=144.00 n8=432.00 n10=432.00 12 1.0 r3=6 r4=2 r5=7 | n9=336.00 n6=n7=168.00 n8=504.00 n10=504.00 12 1.0 r3=7 r4=2 r5=1 | n9=54.00 n6=n7=30.00 n8=84.00 n10=84.00 12 1.0 r3=7 r4=2 r5=2 | n9=108.00 n6=n7=60.00 n8=168.00 n10=168.00 12 1.0 r3=7 r4=2 r5=3 | n9=162.00 n6=n7=90.00 n8=252.00 n10=252.00 12 1.0 r3=7 r4=2 r5=4 | n9=216.00 n6=n7=120.00 n8=336.00 n10=336.00 12 1.0 r3=7 r4=2 r5=5 | n9=270.00 n6=n7=150.00 n8=420.00 n10=420.00 12 1.0 r3=7 r4=2 r5=6 | n9=324.00 n6=n7=180.00 n8=504.00 n10=504.00 12 1.0 r3=7 r4=2 r5=7 | n9=378.00 n6=n7=210.00 n8=588.00 n10=588.00 12 1.0 r3=3 r4=3 r5=1 | n9=24.00 n6=n7=0.00 n8=24.00 n10=24.00 12 1.0 r3=3 r4=3 r5=2 | n9=48.00 n6=n7=0.00 n8=48.00 n10=48.00 12 1.0 r3=3 r4=3 r5=3 | n9=72.00 n6=n7=0.00 n8=72.00 n10=72.00 12 1.0 r3=3 r4=3 r5=4 | n9=96.00 n6=n7=0.00 n8=96.00 n10=96.00 12 1.0 r3=3 r4=3 r5=5 | n9=120.00 n6=n7=0.00 n8=120.00 n10=120.00 12 1.0 r3=3 r4=3 r5=6 | n9=144.00 n6=n7=0.00 n8=144.00 n10=144.00 12 1.0 r3=3 r4=3 r5=7 | n9=168.00 n6=n7=0.00 n8=168.00 n10=168.00  其中,Pd=12, 取ratio=(L/D)=1.0 可在運算出的數當中選取適合的齒輪組合,我們考量齒輪大小之後, 以此組合嘗試下去:    R3=3 in, R4=2 in, R5=3 in  另外的規格    N9=90, N6=N7=18, N8=108, N10=108   N3=36, N4=24, N5=360   R9=7.5 in, R6=R7=1.5 in, R8=9 in, R10=9 in  探討接觸比(Contact Ratio)是否超過 1.2,齒輪運轉才能平順。 壓力角(Pressure angle)設定為20° 

 Pd=12   Pc=π/Pd=0.2618   Pb=Pc*cos20°=0.2460   addendum  a=1.0/Pd=0.0833 in   dedendum  b=1.25/Pd=0.104 in   Whole depth  ht=a+b=0.1873 in   Nominal center distance  C68=R6+R8=10.5 in   Z68=[(R6+a)2-(R6cos20°)2]0.5+[(R8+a)2-(R8cos20°)2]0.5-Csin20°      =0.7211+3.314-3.591=0.4441   mp,68=Z68/Pb=1.805>1.2   C65=R6+R5=4.5 in   Z65=0.7211+1.249-1.539=0.4311   mp,65=Z65/Pb=1.752>1.2   C34=R3+R4=5 in   Z34=1.249+0.8989-1.710=0.4379   mp,34=Z34/Pb=1.780>1.2   α10=tan-1[N10/N9]=50.19°   α9=90°-α10=39.81°   Face width  F=2*R9/(2*sinα9)/3=3.905 in   R1*4=R4+R3, R1=R11=R2=1.25 in   假設R12=R13=3 in   C111=R1+R11=2.5 in   Z111=0.6308+0.6308-0.8551=0.4065   mp,111=Z111/Pb=1.652>1.2   C1213=R12+R13=6 in   Z1213=1.249+1.249-2.052=0.446   mp,1213=Z1213/Pb=1.813>1.2  

     藉助以上的驗證,齒輪運轉十分平順,而且interference也不 會發生,因此,這組選擇相當優良,當然還可以繼續挑選其它的尺 寸來測試,或許會有更好的表現。  設計規格    Material Steel   Full-depth gear tooth    Diameter pitch                   12   Pressure angle                   20°   Addendum                      0.0833 in   Dedendum                      0.104 in   Working depth                   0.167 in   Whole depth                    0.1873 in   Circular tooth thickness            0.131 in   Clearance                       0.0292in  Gear 1, 2, 11   Pitch diameter                   2.5 in   Teeth number                    30  Gear 3   Pitch diameter                   6 in   Teeth number                    36  Gear 4   Pitch diameter                   2 in   Teeth number                    24  Gear 5   Pitch diameter                   6 in   Teeth number                    36  Gear 6, 7   Pitch diameter                   3 in   Teeth number                    18   Gear 8, 10   Pitch diameter                   18 in   Teeth number                    108  Gear 9   Pitch diameter                   15 in   Teeth number                    90  Gear 12, 13   Pitch diameter                   6 in   Teeth number                    72  

 B. 設計二  車輪直徑採用自制車輪的直徑D=20 in 取(L/D)之比為2.0,即兩輪間距L=40 in  經過推導式子得出以下合理的齒半徑 : ratio=(L/D)=2.0 R6=R5=R2=R1=0.667in R3=2in 取Pd=15 測試這些齒之配合是否有干涉現象 :   Spur Gear   Pc=π/Pd=0.2094   Pb=Pc*cos20°=0.1968   addendum  a=1.0/Pd=0.0667 in   dedendum  b=1.25/Pd=0.0833 in   Whole depth  ht=a+b=0.15 in   Nominal center distance  C63=R6+R3=2.67 in   Z63=[(R6+a)2-(R6cos20°)2]0.5+[(R3+a)2-(R3cos20°)2]0.5-Csin20°      =0.3280   mp,63=Z63/Pb=1.667>1.2   Nominal center distance  C23=R2+R3=2.67 in   Z23=[(R2+a)2-(R2cos20°)2]0.5+[(R3+a)2-(R3cos20°)2]0.5-Csin20°      =0.3280   mp,23=Z23/Pb=1.667>1.2   Nominal center distance  C12=R1+R2=1.33 in   Z12=[(R1+a)2-(R1cos20°)2]0.5+[(R2+a)2-(R2cos20°)2]0.5-Csin20°      =0.3077   mp,12=Z12/Pb=1.563>1.2   Bevel Gear   α=tan-1[1]=45°   Face width  F=2*R5/(2*sinα)/3= 0.3143in   指南端等齒比齒輪   Pd=12   Pc=π/Pd=0.2618   Pb=Pc*cos20°=0.2460   addendum  a=1.0/Pd=0.0833 in   dedendum  b=1.25/Pd=0.104 in   Whole depth  ht=a+b=0.1873 in   Nominal center distance    C=2R=6 in   Z=1.249+1.249-2.052=0.446   mp=Z/Pb=1.813>1.2      藉助以上的驗證,齒輪運轉十分平順,而且interference也不 會發生,因此,這組選擇相當優良,當然還可以繼續挑選其它的尺 寸來測試,或許會有更好的表現。  設計規格    Material Steel   Full-depth gear tooth             spur / 指南端   Diameter pitch                   15 / 12   Pressure angle                     20°   Addendum                    0.0667/0.0833in   Dedendum                     0.104/0.0833in   Working depth                  0.133/0.167 in   Whole depth                    0.150/0.1873 in   Circular tooth thickness            0.105/0.131 in   Clearance                      0.0233/0.0292in  Gear 1, 2   Pitch diameter                   1.33 in   Teeth number                    20  Gear 3   Pitch diameter                    4 in   Teeth number                    60   Bevel Gear   Pitch diameter                   1.33in   Teeth number                    20  指南端齒輪   Pitch diameter                   6 in   Teeth number                    72  C.設計三 車輪直徑採用自制車輪的直徑D=13 in 取(L/D)之比為12.6,即兩輪間距L=30 in  設   Pd=20   N1=77   N2=77   Np=14   dg1=3.85in   dg2=3.85in   dp=0.7in   ψ=20°  Rack and Pinion   Pc=π/Pd=0.157   Pb=Pc*cos20°=0.1475   addendum  a=1.0/Pd=0.05 in   dedendum  b=1.25/Pd=0.0625 in   Whole depth  ht=a+b=0.1125 in  Gear and Pinion   Nominal center distance  C2p=Rp+R2=2.28 in   Z2p=[(R2+a)2-(R2cos20°)2]0.5+[(Rp+a)2-(Rpcos20°)2]0.5-Csin20°      =0.2406   mp,2p=Z2p/Pb=1.631>1.2 Gear and Gear   Nominal center distance  C12=R1+R2=3.85 in   Z12=[(R2+a)2-(R2cos20°)2]0.5+[(R1+a)2-(R1cos20°)2]0.5-Csin20°      =0.2688   mp,12=Z2p/Pb=1.822>1.2           藉助以上的驗證,齒輪運轉十分平順,而且interference也不 會發生,因此,這組選擇相當優良,當然還可以繼續挑選其它的尺 寸來測試,或許會有更好的表現。  設計規格    Material Steel   Full-depth gear tooth                Diameter pitch                      20   Pressure angle                      20°   Addendum                       0.05in   Dedendum                       0.0625in   Working depth                    0.10in   Whole depth                      0.11in   Circular tooth thickness              0.0785in   Clearance                        0.0195in  Gear 1, 2   Pitch diameter                    3.85 in   Teeth number                     77  Pinion 3   Pitch diameter                    0.7 in   Teeth number                     14  Screw Thread (American Standard Acme Threads)  Major Diameter                    1.5in  Thread/inch                        4  Thread pitch                      0.25in  Pitch Diameter                    1.375in  Minor Diameter                    1.25in  如果這樣的設計直條齒(Rack)需再經過一放大的齒輪組,才不會 造成軸距太大,取放大的比為K=5.5,所以得出上面較小的軸 距,如果沒有此放大的設計,軸距要163in才能達到要求。 

結論:

     上述之三種設計方式 , 皆利用差速器的道理反向設計所得 , 目的在使轉彎時所造成的差速關係保持一定 , 使指示的方向不變 , 由內容所述之各假設及公式 , 配合齒輪的設計得到所需的齒數 比 , 以達到此目的. 
 
b94611043    范詠晴

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