Google+ 機動學論壇(TALKING MECHANISMS): 葛拉索公式的證明

2007年5月7日 星期一

葛拉索公式的證明

最近從書上看到了葛拉索公式的證明,覺得很有趣,就自己整理了一下打成檔案,放在網路上給大家參考。

我做的pdf檔可以從http://homepage.ntu.edu.tw/~b94202029/GrashofInequality.pdf下載。

我的blog也有一樣的檔案:http://b94202029mechanisms.blogspot.com/


Grashof Inequality

考慮如圖1的四連桿。若要完成一完整的旋轉,則該四連桿必須通過圖 2和圖3的位置。令aAB桿長、 bBC桿長、cCD桿長、dAD桿(接地桿)長。

先假設AB桿長小於接地桿桿長:

a<d

運用三角不等式(兩邊之和大於第三邊)於圖2,可以得到

a+d<b+c

b<c+a+d

c<b+a+d


再運用於圖3,可以得到

d-a<b+c

b<c+d-a

c<b+d-a


再來將六個不等式之中較弱的論證去除:

1. 由於(e)式為真則保證(b)式為真,故(b) 式可去除。把(e)式寫成

a+b<c+d

2. 由於 (f)式為真則保證(c)式為真,故(c)式可去除。把(c)式寫成

a+c<b+d

3. 由於 (a)式為真則保證(d)式為真,故(d)式可去除。


最後將(e')(a)相加、 (f')(a)相加,可以得到

2a+b+d<2c+b+d

2a+c+d<2b+c+d

又因一開始的假設為 a,故a為最短桿桿長。再回頭看(a)(e')(f') :三個不等式的左手邊皆為(a+另一桿桿長),其中一式必定代表(最短桿桿長 +最長桿桿長)< (另兩桿桿長相加)。故最後得到

s+l<p+q

其中s=a為最短桿桿長、 l為最長桿桿長、pq為另兩桿桿長。

  注意上述論證有AB桿長小於接地桿桿長的假設,且在此假設下所得到的最後結果顯示最短桿必接在接地桿上。若要將此公式推廣(最短桿可能為接地桿或連結桿),只要將觀察者改設成與 AB桿或BC桿或CD桿一起移動(也就是將座標系改架在AB桿或 BC桿或CD桿上)即可,且將此公式推廣的同時,亦可得知最短桿兩端的旋轉結必可作360度旋轉的訊息。

b94202029 張哲輔

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